pi } Dans cet espace on peut définir une distance géodésique d ( Ω , Ω ′ ) = arccos ( Ω ⋅ Ω ′ ) {\displaystyle d(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } ')=\arccos \,({\boldsymbol {\Omega }}\cdot {\boldsymbol {\Omega }}')} . La mesure de Lebesgue d Ω = sin ⁡ θ d θ d ϕ {\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi } est invariante par rotation. Sa masse vaut ∫ S 2 d Ω = 4 π {\displaystyle \int _{S^{2}}\mathrm {d} \Omega =4\pi } . On peut être amené à restreindre l'espace à un hémisphère lorsque l'on étudie une condition aux limites mathématique ou physique (par exemple les propriétés d'une surface). Certains modèles d'approximation physique utilisent les octants (1/8ème de la sphère). Enfin l'approximation numérique fait appel au découpage en N segments (δθ, δΦ) (par exemple la méthode SN en transfert radiatif ou la segmentation de données statistiques). On peut généraliser la théorie à une hypersphère. Les cas ...
La théorie des systèmes dynamiques désigne couramment la branche des mathématiques qui s'efforce d'étudier les propriétés d'un système dynamique. Cette recherche active se développe à la frontière de la topologie, de l'analyse, de la géométrie, de la théorie de la mesure et des probabilités. La nature de cette étude est conditionnée par le système dynamique étudié et elle dépend des outils utilisés (analytiques, géométriques ou probabilistes). Historiquement, les premières questions relevant des systèmes dynamiques concernaient la mécanique à une époque où elle était incluse dans l'enseignement des mathématiques. Une des questions majeures qui ont motivé la recherche mathématique est le problème de la stabilité du système solaire. Les travaux de Lagrange sur le sujet consistèrent à interpréter l'influence des corps autres que le Soleil sur une planète comme une succession de chocs infinitésimaux : ces travaux retrouvent des échos dans le théorème KAM ...
Pour un article plus général, voir théorie du chaos. Bien que le caractère vraisemblablement chaotique de la météorologie fut pressenti par Henri Poincaré,, le météorologue, Edward Lorenz est considéré comme étant le premier à le mettre en évidence, en 1963. Mathématiquement, le couplage de l'atmosphère avec l'océan est décrit par le système d'équations aux dérivées partielles couplées de Navier-Stokes de la mécanique des fluides. Ce système d'équations était beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les premiers ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une situation physique particulière : le phénomène de convection de Rayleigh-Bénard. Il aboutit alors à un système dynamique différentiel possédant seulement trois degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ. Ce système différentiel s'écrit : ...
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques. Vous pouvez partager vos connaissances en l'améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. L'attracteur de Hénon est un système dynamique à temps discret. C'est l'un des systèmes dynamiques ayant un comportement chaotique les plus étudiés. L'attracteur de Hénon prend tout point du plan (x, y) et lui associe le nouveau point : x n + 1 = y n + 1 − a x n 2 {\displaystyle x_{n+1}=y_{n}+1-ax_{n}^{2}\,} y n + 1 = b x n {\displaystyle y_{n+1}=bx_{n}\,} . Il dépend de deux paramètres, a et b, qui ont pour valeurs canoniques : a = 1.4 et b = 0.3. Pour ces valeurs, l'attracteur de Hénon est chaotique. Pour d'autres valeurs de a et b, il peut être chaotique, intermittent ou converger vers une orbite périodique. Un aperçu du comportement de l'attracteur peut être donné par son diagramme orbital. L'attracteur fut introduit par Michel Hénon comme une simplification de la section de Poincaré de ...
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Cet article est une ébauche concernant la science. Vous pouvez partager vos connaissances en l'améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. L'introduction de cet article est soit absente, soit non conforme aux conventions de Wikipédia (août 2007). Ces motifs sont peut-être précisés sur la page de discussion. - Découvrez comment faire pour en améliorer la rédaction. En automatique, pour la régulation d'un système dynamique, une boucle de régulation est un dispositif constitué d'un ou de plusieurs capteurs mesurant une grandeur physique à contrôler, fournissant ainsi les données nécessaires au système de commande d'une machine ou d'un processus dont l'état est susceptible de modifier cette grandeur. [pas clair] Pour concevoir un système, il convient en premier lieu de déterminer les besoins (tolérance aux fluctuations, temps de réaction, ...) et les moyens de mesure et d'actions disponibles : réglage « tout ou rien » (TOR) ou réglage fin ...
La régulation des réseaux électriques est l'ensemble des moyens mis en œuvre (processus d'asservissement agissant sur un système dynamique) afin de maintenir proches de leurs valeurs de consigne les grandeurs de fréquence et de tension sur l'ensemble du réseau. La stabilité des réseaux électriques est une qualité de cette régulation par laquelle les situations modérément perturbées reviennent progressivement à un état d'équilibre (stabilité au sens de stabilité asymptotique). Une instabilité généralisée du réseau peut conduire à des dégâts matériels (côté production, transport, distribution et clients) et/ou à la mise hors tension d'une partie ou de l'ensemble du réseau (blackout). Considérées comme des fonctions du temps : la fréquence est une grandeur scalaire et son réglage est assuré en agissant sur des puissances actives à l'échelle globale ; la tension est une grandeur vectorielle (une valeur en chaque point de connexion des lignes) et son réglage ...
Un automate cellulaire consiste en une grille régulière de « cellules » contenant chacune un « état » choisi parmi un ensemble fini et qui peut évoluer au cours du temps. L'état d'une cellule au temps t+1 est fonction de l'état au temps t d'un nombre fini de cellules appelé son « voisinage ». À chaque nouvelle unité de temps, les mêmes règles sont appliquées simultanément à toutes les cellules de la grille, produisant une nouvelle « génération » de cellules dépendant entièrement de la génération précédente. Étudiés en mathématiques et en informatique théorique, les automates cellulaires sont à la fois un modèle de système dynamique discret et un modèle de calcul. Le modèle des automates cellulaires est remarquable par l'écart entre la simplicité de sa définition et la complexité que peuvent atteindre certains comportements macroscopiques : l'évolution dans le temps de l'ensemble des cellules ne se réduit pas (simplement) à la règle locale qui ...
Il existe une fonction de Liapounov pour le système dynamique considéré, si, et seulement si l'origine est un équilibre stable de ce système.. De plus, l'origine est asymptotiquement stable si, et seulement s'il existe une fonction de Liapounov ...
Bendixson se consacre d'abord à la théorie des ensembles de Cantor, pour laquelle il trouve entre autres un exemple d'ensemble parfait[3] totalement discontinu[1] et démontre que tout ensemble fermé non dénombrable peut être décomposé comme union disjointe d'un ensemble complet et d'un ensemble dénombrable (théorème de Cantor-Bendixson). Il est aujourd'hui surtout connu pour le théorème de Poincaré-Bendixson, qui décrit le comportement des courbes intégrales des équations différentielles autonomes de premier ordre (qui, dans la théorie originale de Poincaré, décrivent l'évolution temporelle des systèmes dynamiques) en deux dimensions au voisinage d'une singularité. Ce théorème énonce que la courbe se termine par un point singulier (source ou puits), ou bien qu'il existe un cycle limite (la courbe intégrale « orbite » autour du point singulier). Bendixson en a donné la démonstration en 1901, indépendamment de Poincaré[4]. Il a également étudié les solutions ...
En automatique et en théorie de l'information, un observateur d'état est une extension d'un modèle représenté sous forme de représentation d'état. Lorsque l'état d'un système n'est pas mesurable, on conçoit un observateur qui permet de reconstruire l'état à partir d'un modèle du système dynamique et des mesures d'autres grandeurs. La théorie de l' observateur d'état a tout d'abord été introduite par Kalman et Bucy pour un système linéaire dans un environnement stochastique (Filtre de Kalman-Bucy),. Puis Luenberger (en) a fait une théorie générale des observateurs pour les systèmes linéaires déterministes, introduisant notamment les notions d'observateur réduit et d'observateur minimal,. Les observateurs linéaires ont donné lieu à des travaux récents, allant vers une généralisation toujours plus poussée,. Pour les systèmes non linéaires, le filtre de Kalman étendu reste très utilisé malgré les résultats importants obtenus récemment sur les observateurs ...
Cet article est une ébauche concernant la physique. Vous pouvez partager vos connaissances en l'améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Consultez la liste des tâches à accomplir en page de discussion. L'oscillateur de Van der Pol est un système dynamique à temps continu à un degré de liberté. Il est décrit par une coordonnée x(t) vérifiant une équation différentielle faisant intervenir deux paramètres : une pulsation propre ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} et un coefficient de non-linéarité ε {\displaystyle \varepsilon } . Lorsque ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} , cet oscillateur se réduit à un oscillateur harmonique pur. Il porte le nom de Balthasar van der Pol. L'oscillateur de van der Pol a été imaginé par le physicien néerlandais Balthasar van der Pol alors qu'il était employé par les laboratoires Philips. Van der Pol découvrit que ce circuit contenant un tube à vide développait des oscillations stables, qu'il appela « ...
Le concept de système multicorps est utilisé en mécanique (Mécanique du solide) pour modéliser le comportement dynamique de corps rigides et/ou flexibles connectés les uns aux autres par des liaisons mécaniques, chacun de ces corps décrivant de grands déplacements à la fois en translation et en rotation. Le comportement dynamique des mécanismes est un sujet qui a été particulièrement traité et ce, à l'aide de nombreux formalismes. Les premières formulations du problème ont été introduites par Newton pour les particules et Euler pour les corps solides. Euler ayant déjà introduit le concept d'efforts de réaction entre différents corps mécaniques. Plus tard, ces formalismes ont été étendus, notamment par Lagrange avec une description basée sur les coordonnées minimum ainsi qu'une autre formulation introduisant les équations de contraintes. Le mouvement des corps solides peut être décrit dans un premier temps par la cinématique. Le comportement dynamique du système ...